定义域为R的函数f.当x∈[0.2)时.f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x.x∈[0.1)}\\{lo{g} {\sqrt{2}}}\end{array}\right.$.若x∈[-2.0)时.对任意的t∈[1.2]都有f(x)≥$\frac{t}{16}$-$\frac{a}{8{t}^{2}}$成立.则实数a的取值范围是( )A．B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x∈[0，1）}\\{lo{g}_{\sqrt{2}}（x+1），x∈[1，2）}\end{array}\right.$，若x∈[-2，0）时，对任意的t∈[1，2]都有f（x）≥$\frac{t}{16}$-$\frac{a}{8{t}^{2}}$成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．

（-∞，6）

B．

[6，+∞）

C．

（-∞，6]

D．

（-∞，12]

分析首先求解出在x∈[-2，0）时的分段函数表达式，然后求解出这个函数的最小值，然后再利用恒成立的条件求解．

解答解：由题意得f（x）=$\frac{1}{4}$f（x+2），当x∈[-2，-1）时，x+2∈[0，1），f（x）=$\frac{1}{4}$f（x+2）=$\frac{1}{4}[（x+2）^{2}-（x+2）]$＞f（-$\frac{3}{2}$）=$-\frac{1}{16}$，当x∈[-1，0）时，
x+2∈[1，2），f（x）=$\frac{1}{4}$f（x+2）=$\frac{1}{4}$$lo{g}_{\sqrt{2}}（x+3）$≥f（1）=1，所以当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值是-$\frac{1}{16}$，所以对任意的t∈[1，2]都有-$\frac{1}{16}$≥$\frac{t}{16}$-$\frac{a}{8{t}^{2}}$成立，所以2a≥t³+t²，令g（t）=t³+t²，g′（t）=3t²+2t，由g′（t）＞0得t＜-$\frac{2}{3}$或t＞0，即t∈[1，2]时g（t）单调递增，所以g（t）最大值是g（2）=12，所以2a≥12，
所以a≥6，
故选：B．

点评关键是求解出f（x）在已知区间上的最小值，以及正确利用不等式恒成立的条件进行分离参数求解．