题目内容
已知函数f（x）=lnx+ax2在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行．
求：（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≤x2+b恒成立．求b的取值范围．
解：（1）∵f（x）=lnx+ax2，
∴x＞0，
，
∵函数f（x）=lnx+ax2在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行，
∴f′（1）=1+2a=-1，解得a=-1．
∴
，
∵x＞0，∴由＞0，得0＜x＜
；由＜0，得x＞．
∴函数f（x）的单调减区间为（
），单调增区间为（0，）．
（2）∵函数f（x）≤x2+b恒成立，
∴b≥lnx-2x2恒成立，
∴b≥（lnx-2x2）max．
设g（x）=lnx-2x2，x＞0．
则
，
令=0，得x=
．
当0＜x
时，g′（x）＞0；当x＞时，g′（x）＜0．
∴当x=时，
=ln-2×（）2=1n-．
∴b≥ln-．
故b的取值范围是（ln-，+∞）．
分析：（1）由函数f（x）=lnx+ax2在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行，解得a=-1．故，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由函数f（x）≤x2+b恒成立，知b≥lnx-2x2恒成立，故b≥（lnx-2x2）max．由此能求出实数b的取值范围．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义的应用．解题时要认真审题，注意直线平行的条件和等价转化思想的合理运用．
∴x＞0，
，∵函数f（x）=lnx+ax2在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行，
∴f′（1）=1+2a=-1，解得a=-1．
∴
，∵x＞0，∴由
＞0，得0＜x＜；由＜0，得x＞．∴函数f（x）的单调减区间为（
），单调增区间为（0，）．（2）∵函数f（x）≤x2+b恒成立，
∴b≥lnx-2x2恒成立，
∴b≥（lnx-2x2）max．
设g（x）=lnx-2x2，x＞0．
则
，令
=0，得x=．当0＜x
时，g′（x）＞0；当x＞时，g′（x）＜0．∴当x=
时，=ln-2×（）2=1n-．∴b≥ln
-．故b的取值范围是（ln
-，+∞）．分析：（1）由函数f（x）=lnx+ax2在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行，解得a=-1．故
，由此能求出函数f（x）的单调区间．（2）由函数f（x）≤x2+b恒成立，知b≥lnx-2x2恒成立，故b≥（lnx-2x2）max．由此能求出实数b的取值范围．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义的应用．解题时要认真审题，注意直线平行的条件和等价转化思想的合理运用．
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