题目内容

已知函数f（x）=lnx+ax²在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行．
求：（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）≤x²+b恒成立．求b的取值范围．

解：（1）∵f（x）=lnx+ax²，
∴x＞0， $\text{[math]}$ ，
∵函数f（x）=lnx+ax²在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行，
∴f′（1）=1+2a=-1，解得a=-1．
∴ $\text{[math]}$ ，
∵x＞0，∴由 $\text{[math]}$ ＞0，得0＜x＜ $\text{[math]}$ ；由 $\text{[math]}$ ＜0，得x＞ $\text{[math]}$ ．
∴函数f（x）的单调减区间为（ $\text{[math]}$ ），单调增区间为（0， $\text{[math]}$ ）．
（2）∵函数f（x）≤x²+b恒成立，
∴b≥lnx-2x²恒成立，
∴b≥（lnx-2x²）_max．
设g（x）=lnx-2x²，x＞0．
则 $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ =0，得x= $\text{[math]}$ ．
当0＜x $\text{[math]}$ 时，g′（x）＞0；当x＞ $\text{[math]}$ 时，g′（x）＜0．
∴当x= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ =ln $\text{[math]}$ -2×（ $\text{[math]}$ ）²=1n $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
∴b≥ln $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
故b的取值范围是（ln $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，+∞）．
分析：（1）由函数f（x）=lnx+ax²在点（1，f（1））处的切线与直线y=-x+1平行，解得a=-1．故 $\text{[math]}$ ，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由函数f（x）≤x²+b恒成立，知b≥lnx-2x²恒成立，故b≥（lnx-2x²）_max．由此能求出实数b的取值范围．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义的应用．解题时要认真审题，注意直线平行的条件和等价转化思想的合理运用．