题目内容

椭圆 $数学公式$ 与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点F₁，F₂，P为它们的一个公共点，且∠F₁PF₂=90°，则椭圆的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：由渐近线为x±2y=0，得出双曲线中的实轴长与半焦距的关系a²= $\text{[math]}$ ，再结合椭圆和双曲线的定义，列出关于PF₁，PF₂，F₁F₂的关系式，解出c的值，代入离心率公式计算．
解答：设F₁F₂=2c，在双曲线中， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a²+b²=c²，得a²= $\text{[math]}$ ．不妨设p在第一象限，则由椭圆的定义得PF₁+PF₂= $\text{[math]}$ ，由双曲线的定义得PF₁-PF₂=2a= $\text{[math]}$ 又∠F₁PF₂=90°∴PF₁²+PF₂²=4c²∴48+ $\text{[math]}$ =8c²，解c= $\text{[math]}$ ，∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选C
点评：本题是椭圆和双曲线结合的好题．要充分认识到PF₁，PF₂，F₁F₂在两曲线中的沟通作用．

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已知双曲线C的一条渐近线为y=

x，且与椭圆x2+

=1有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l：x-

y-2=0与双曲线C相交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否过原点，并说明理由．

已知椭圆M：

=1和直线l1：y=

x，若双曲线N的一条渐近线为l₁，其焦点与M的焦点相同．
（1）求双曲线N的方程；
（2）设直线l₂过点P（0，4），且与双曲线N相交于A，B两点，与x轴交于点Q（Q与双曲线N的顶点不重合），若

，且λ1+λ2=-

，求直线l₂的方程．

（1）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴，长轴长为短轴长的3倍，且过点P（3，2），求此椭圆的方程；
（2）求与双曲线

=1有公共渐近线，且焦距为8的双曲线的方程．

（2009•重庆模拟）已知双曲线C₁的渐近线方程是y=±x，且它的一条准线与渐近线y=x及x轴围成的三角形的周长是

+1．
（I）求以C₁的两个顶点为焦点，以C₁的焦点为顶点的椭圆C₂的方程；
（II）AB是椭圆C₂的长为

的动弦，O为坐标原点，求△OAB的面积S的取值范围．

已知双曲线C₁的渐近线方程是y=±

x，且它的一条准线与渐近线y=

x及x轴围成的三角形的周长是

．以C₁的两个顶点为焦点，以C₁的焦点为顶点的椭圆记为C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）已知斜率为

的直线l经过定点P（m，0）（m＞0）并与椭圆C₂交于不同的两点A、B，若对于椭圆C₂上任意一点M，都存在θ∈[0，2π]，使得

成立．求实数m的值．