题目内容
(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
已知长方体,,点M是棱的中点.
(1)试用反证法证明直线是异面直线;
(2)求直线所成的角(结果用反三角函数值表示).
已知长方体,,点M是棱的中点.
(1)试用反证法证明直线是异面直线;
(2)求直线所成的角(结果用反三角函数值表示).
略
证明 (1)(反证法)假设直线与不是异面直线. ……………………………1分
设直线与都在平面上,则.………………………3分
因此,有不共线的三个公共点,即
重合).又长方体的相邻两个面不重合,这是矛盾,于是,假设不成立. …………………………………………………………6分
所以直线与是异面直线. …………………7分
解 (2)按如图所示建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为D(0,0,0)、
A(4,0,0)、B(4,2,0),C(0,2,0),(4,0,4),(4,2,4),(0,2,4),
(0,0,4).于是,M(0,1,4),…9分
设平面的法向量为,则
,即.取. … 11分
所以平面的一个法向量为.
记直线为,于是,
,. ………………………13分
所以,直线为=.…………………14分
设直线与都在平面上,则.………………………3分
因此,有不共线的三个公共点,即
重合).又长方体的相邻两个面不重合,这是矛盾,于是,假设不成立. …………………………………………………………6分
所以直线与是异面直线. …………………7分
解 (2)按如图所示建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为D(0,0,0)、
A(4,0,0)、B(4,2,0),C(0,2,0),(4,0,4),(4,2,4),(0,2,4),
(0,0,4).于是,M(0,1,4),…9分
设平面的法向量为,则
,即.取. … 11分
所以平面的一个法向量为.
记直线为,于是,
,. ………………………13分
所以,直线为=.…………………14分
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