Question

记有限集合A的元素个数为n(A)，那么有n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)；n(A∪B∪C)＝n(A)＋n(B)＋n(C)－n(A∩B)－n(A∩C)－n(B∩C)＋n(A∩B∩C)．解下列题目：一次会议有1990位数学家参加，每人至少有1327位合作者，求证：可以找到千位数学家，他们中每两个人都合作过．

Answer 1

答案：
解析：

解：记数学家们为Vi(i＝1，2，3，…，1990)，与Vi合作过的数学家组成集合Ai，任取合作过的两位数学家记为V1，V2，则n(A1)≥1327，n(A1)≥1327，n(A1∪A2)≤1990，得n(A1∩A2)＝n(A1)＋n(A2)－n(A1∪A2)≥1327×2－1990＞0，从而存在数学家V3∈A1∩A2，V3≠V1，V3≠V2 　　又∵n(A1∩A2∩A3)＝n(A1∩A2)＋n(A3)－n[(A1∩A2)∪A3]≥[(1327×2)－1990]＋1327－1990＝1 　　∴存在数学家V4∈A1∩A2∩A3，V4≠V1，V4≠V2，V4≠V3 　　∴数学家V1，V2，V3，V4两两合作过． 　　从而问题得证． 　　思想方法小结：本题实质是证明A1∩A2∩A3≠φ．

提示：

将实际问题，转化为数学问题，利用集合思想加以解决，充分利用上面两个集合元素个数的公式．