题目内容
【题目】如图, 是边长为
的正方形,
平面
,
平面
,
.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求三棱锥的体积.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)先证明,结合
,根据线面垂直的判定定理可得
平面
,从而可得结论;(Ⅱ)先根据勾股定理求底面三角形的三边的长,进而根据其特性求底面三角形的面积,再根据棱锥的体积公式求解即可.
试题解析:(Ⅰ)证明:连接,
因为是正方形,所以
.
因为平面
,
平面
,
所以.
因为,所以
平面
.
因为平面
,
平面
,所以
.
所以,
,
,
四点共面.
因为平面
,所以
.
(Ⅱ)设,连接
,
.
由(Ⅰ)知, 平面
,
所以平面
.
因为平面将三棱锥
分为两个三棱锥
和
,
所以.
因为正方形的边长为
,
,
所以,
.
取的中点
,连接
,则
.
所以等腰三角形的面积为
.
所以
.
所以三棱锥的体积为
.
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