Question

已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足y=f(x+

π

2

)为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：
①y=f（x）是周期函数；
②y=f(x+

π

2

)的图象可以由y=f（x）的图象向右平移

π

2

得到；
③（-π，0）是y=f（x）的图象的一个对称中心；
④当x=

π

2

时，y=f（x）一定取最大值．
其中描述正确的是

 

．

Answer 1

分析：由题意可得f（-x）=-f（x），y=f（x+

π

2

）为偶函数?函数 y=f（x）关于x=

π

2

对称?f（x）=f（π-x），结合各命题及函数的性质可分别进行判断．

解答：解：∵f（x）是R上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）（1）
∵y=f（x+

π

2

）为偶函数，函数的图象关于y轴对称
∴函数y=f（x）关于x=

π

2

对称即f（x）=f（π-x）（2）
由（1）（2）可得f（2π+x）=f（x）故①正确
②y=f（x）

向左平移 π 2

y=f(x+

π

2

)，故②错误
③由函数为奇函数可得f（-π）=-f（π）（1）；由周期函数可得f（x）=f（x+2π）（2）由（1）（2）可得f（-π）=-f（π）=f（π）=0，从而可知③正确
④x=

π

2

是函数的对称轴，取函数的最值，但不一定是最大值，故④错误
故答案为：①③

点评：本题主要考查了函数的性质的综合运用：函数的奇偶性，函数的对称性（轴对称与中心对称），函数的周期性的相关知识的综合运用，还要具备一定的逻辑推导的能力．