题目内容
已知O为坐标原点,
M(cosx,2),N(2cosx,sinxcosx+a)其中
x∈R,a为常数,设函数
f(x)=•.
(1)求函数y=f(x)的表达式和最小正周期;
(2)若角C为△ABC的三个内角中的最大角且y=f(C)的最小值为0,求a的值;
(3)在(2)的条件下,试画出y=f(x)(x∈[0,π])的简图.
分析:(1)根据向量数量积的坐标表示和两角和的正弦公式,求出函数的解析式并进行化简,利用周期公式求出函数的最小正周期;
(2)根据三角形最大角的范围求出2C+
的范围,再由正弦函数的性质以及最小值求出a的值;
(3)根据(2)求出的函数解析式,以及对应坐标系中的标出的自变量的值求出对应的函数值,利用描点连线和正弦曲线,画出函数的简图.
解答:解:(1)由题意知,
f(x)=•则
f(x)=2cos2x+2(sinxcosx+a)=cos2x+sin2x+1+a=
2sin(2x+)+a+1∴T=π
(2)由角C为△ABC的三个内角中的最大角可得:
≤C<π,2C+∈[π,π),
∴
y=f(C)=2sin(2C+)+a+1的最小值为2×(-1)+a+1=0,
则a=1.
(3)由(2)可知:
y=f(x)=2sin(2x+)+2,
依次求出f(0)=3,f(
)=4,f(
)=3,f(
)=1,f(
)=0,f(
)=1,f(π)=3.
在坐标系中进行描点连线,画出函数的图象(x∈[0,π]):
点评:本题是向量和三角函数的综合题,考查了向量数量积的坐标表示和正弦函数的性质应用,综合运用知识和作图能力.
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