Question

15．如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点．
求：
（1）$\overrightarrow{PM}$与$\overrightarrow{FQ}$所成的角；
（2）P点到平面EFB的距离；
（3）异面直线PM与FQ的距离．

Answer 1

分析 （1）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{PM}$与$\overrightarrow{FQ}$的坐标，再利用向量的夹角公式求出两向量所成的角；
（2）设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，根据条件建立方程组，求出$\overrightarrow{n}$，设所求距离为d，利用d=|$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{n}$|=进行求解即可．
（3）求出两异面直线的公垂线上的方向向量，即可求出异面直线PM与FQ的距离．

解答 解：建立空间直角坐标系，使得D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、M（0，0，a）、E（a，0，a）、F（0，a，a），则由中点坐标公式得P（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{a}{2}$）、Q（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0）．
（1）∴$\overrightarrow{PM}$=（-$\frac{a}{2}$，0，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{FQ}$=（$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，-a），
$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{FQ}$=（-$\frac{a}{2}$）×$\frac{a}{2}$+0+$\frac{a}{2}$×（-a）=-$\frac{3}{4}$a²，且|$\overrightarrow{PM}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，|$\overrightarrow{FQ}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a．
∴cos＜$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{FQ}$＞=$\frac{-\frac{3}{4}{a}^{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{\sqrt{6}}{2}a}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故得两向量所成的角为150°．
（2）设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面EFB的单位法向量，即|$\overrightarrow{n}$|=1，$\overrightarrow{n}$⊥平面EFB，
∵$\overrightarrow{EF}$=（-a，a，0），$\overrightarrow{EB}$=（0，a，-a），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1}\\{-ax+ay=0}\\{ay-az=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{PE}$=（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{a}{2}$）．
设所求距离为d，则d=|$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{n}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
（3）设$\overrightarrow{e}$=（x₁，y₁，z₁）是两异面直线的公垂线上的方向向量，则由$\overrightarrow{PM}$=（-$\frac{a}{2}$，0，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{FQ}$=（$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，-a），
得求得其中的一个$\overrightarrow{e}$=（1，-1，1），
而$\overrightarrow{MF}$=（0，a，0）．设所求距离为m，则m=$\frac{|\overrightarrow{MF}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

点评 本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．