Question

【题目】设f（x）是定义在（﹣1，+∞）内的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y）若f（3）=1且f（a）＞f（a﹣1）+2
求：
（1）f（9）的值，
（2）求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定义在（﹣1，+∞）内的增函数，f（3）=1，函数满足f（xy）=f（x）+f（y），

令x=y=3，f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=1+1=2．

即f（9）=2

（2）解：由（1）可得f（9）=2，

则f（a）＞f（a﹣1）+2转化为f（a）＞f（a﹣1）+f（9），

∴f（a）＞f（9a﹣9），

又∵f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，

∴ ，

∴ ．

故得a的取值范围是（0， ）

【解析】（1）利用f（3）=1，函数满足f（xy）=f（x）+f（y），赋值法求解即可．（2）将f（3）=1转化为f（9），根据定义域和单调性转化为不等式求解．