题目内容
9．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，顶点A、C的坐标分别为（-1，2）、（3，2），点B在x轴上，抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线上一动点，当S△PAB=$\frac{5}{4}$S△ABC时，求点P的坐标；
（3）若点N由点B出发以每秒$\frac{6}{5}$个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，$\frac{1}{3}$秒后，点M也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MN⊥AB时，请直接写出t的值，不必写解答过程．
分析 （1）根据抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点，可得函数图象对称轴方程，求出b值后，将A点坐标代入可得c值，进而得到该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设出点P的坐标，求出P到直线AB的距离，进而可得点P的坐标；
（3）当MN⊥AB时，两直线斜率和为1，设出M，N两点的坐标，可得答案．
解答 解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，2）、C（3，2）两点，
故抛物线y=-x2+bx+c的对称轴方程x=$\frac{b}{2}$=1，解得b=2，
故当x=-1时，2=c-3，解得：c=5，
∴该抛物线所对应的函数关系式y=-x2+2x+5，
（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，
∴B点坐标为：（3，0），
∴S△ABC=4，AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
令AB所在直线方程为：y=k（x-3），将A（-1，2）代入得：k=-$\frac{1}{2}$，
即x+2y-3=0，
令P点坐标为（a，-a2+2a+5），
当S△PAB=$\frac{5}{4}$S△ABC=5时，
P点到AB的距离d=$\sqrt{5}$=$\frac{|-2{a}^{2}+5a+7|}{\sqrt{5}}$，
即-2a2+5a+2=0或-2a2+5a+12=0，
解得：a=$\frac{5±\sqrt{41}}{4}$，或a=4，或a=-$\frac{3}{2}$，
故P点坐标为（$\frac{5+\sqrt{41}}{4}$，$\frac{27-\sqrt{41}}{8}$），或（$\frac{5-\sqrt{41}}{4}$，$\frac{27+\sqrt{41}}{8}$），或（4，-3），或（-$\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{4}$），
（3）t=$\frac{5}{6}$，或t=$\frac{10}{3}$
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，难度中档，熟练掌握二次函数的图象和性质，点到直线距离公式，直线垂直的充要条件等知识点是解答的关键．
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如图是函数y=f（x）的导函数图象，给出下面四个判断：