题目内容

设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D且x₁+x₂=2a，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究并利用函数f（x）=x³-3x²-sin（πx）的对称中心，可得 $数学公式$ =

A.
4023
B.
-4023
C.
8046
D.
-8046

D
分析：函数（x）=x³-3x²-sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，-2），即x₁+x₂=2时，总有f（x₁）+f（x₂）=-4，再利用倒序相加，即可得到结论．
解答：由题意可知要求 $\text{[math]}$ 的值，
易知 $\text{[math]}$ ，
所以函数（x）=x³-3x²-sin（πx）图象的对称中心的坐标为（1，-2），
即x₁+x₂=2时，总有f（x₁）+f（x₂）=-4
∴ $\text{[math]}$ +f（ $\text{[math]}$ ）+…+f（ $\text{[math]}$ ）+f（ $\text{[math]}$ ）=-4×4023
∴ $\text{[math]}$ =-8046
故选D．
点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x₁+x₂=2，是解题的关键．

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