Question

17．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+a，函数g（x）=x²-3x，它们的定义域均为[1，+∞），并且函数f（x）的图象始终在函数g（x）的上方，那么a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{4}{3}$）
• B． （-∞，0）
• C． （-$\frac{4}{3}$，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 由题意知f（x）＞g（x）在[1，+∞）上恒成立，从而f（x）-g（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x+a＞0在[1，+∞）上恒成立，设h（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x+a，由题意知h（x）_最小值＞0．由此利用导数性质能求出a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+a，
函数g（x）=x²-3x，它们的定义域均为[1，+∞），
并且函数f（x）的图象始终在函数g（x）的上方，
∴f（x）＞g（x）在[1，+∞）上恒成立，
∴f（x）-g（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x+a＞0在[1，+∞）上恒成立，
设h（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x+a，
则h′（x）=x²-4x+3，
由h′（x）＞0，得x＞3或x＜1，由h′（x）＜0，得1＜x＜3，
∵x∈[1，+∞），
∴h（x）的增区间为（3，+∞），减区间为[1，3），
∴h（x）_最小值=h（3）=9-18+9+a=a＞0．
∴a的取值范围是（0，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性于最小值，属于中档题．