Question

已知函数f（x）=-x²+4，设函数F(x)=

f(x)，(x＞0) -f(x)，(x＜0)

．
（1）求F（x）表达式；
（2）解不等式1≤F（x）≤2；
（3）设mn＜0，m+n＞0，判断F（m）+F（n）能否小于0？

Answer 1

分析：（1）由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数f（x）的解析式即得．
（2）先对x的值进行分类讨论：当x＞0时，当x＜0时，分别解不等式，最后综合上述不等式的解即可；
（3）确定m，n的符号代入相应的解析式依据其形式进行判断．因为 m，n的符号有两个组合，又两种情况下解题结论是一样的，故只证其一种．

解答：解：（1）F（x）=

-x2+4x＞0 x2-4x＜0

；（2分）
（2）当x＞0时，解不等式1≤-x²+4≤2，得

2

≤x≤

3

；（2分）
当x＜0时，解不等式1≤x²-4≤2，得-

6

≤x≤-

5

．（2分）
综合上述不等式的解为

2

≤x≤

3

或-

6

≤x≤-

5

．（2分）
（3）∵mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0，又m+n＞0，∴m＞-n＞0，
∴|m|＞|n|，（2分）
∴F（m）+F（n）=-m²+4+n²-4=n²-m²＜0，
即F（m）+F（n）能小于0．（4分）

点评：本题考点是分段函数，考查了求分段函数的解析式，一元二次不等式的解法，以及根据分段函数的定义选择解析式判断符号．解答的关键是分段函数求值应分段处理．