题目内容

(2012•广东)已知函数f(x)=2cos(ωx+
π
6
)
(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值;
(2)设α,β∈[0,
π
2
]
f(5α+
5
3
π)=-
6
5
f(5β-
5
6
π)=
16
17
,求cos(α+β)的值.
分析:(1)由题意,由于已经知道函数的周期,可直接利用公式ω=
10π
=
1
5
解出参数ω的值;
(2)由题设条件,可先对f(5α+
5
3
π)=-
6
5
,与f(5β-
5
6
π)=
16
17
进行化简,求出α与β两角的函数值,再由作弦的和角公式求出cos(α+β)的值.
解答:解:(1)由题意,函数f(x)=2cos(ωx+
π
6
)
(其中ω>0,x∈R)的最小正周期为10π
所以ω=
10π
=
1
5
,即ω=
1
5

所以f(x)=2cos(
1
5
x+
π
6
)

(2)因为α,β∈[0,
π
2
]
f(5α+
5
3
π)=-
6
5
f(5β-
5
6
π)=
16
17

分别代入得2cos(α+
π
2
)=-
6
5
⇒sinα=
3
5
2cosβ=
16
17
⇒cosβ=
8
17

α,β∈[0,
π
2
]

cosα=
4
5
,sinβ=
15
17

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=
4
5
×
8
17
-
3
5
×
15
17
=-
13
85
点评:本题考查了三角函数的周期公式及两角和与差的余弦函数,同角三角函数的基本关系,属于三角函数中有一定综合性的题,属于成熟题型,计算题.
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