Question

（2010•江西模拟）（如图）已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是菱形，将面SAB，SAD，ABCD 展开成平面后的图形恰好为一正三角形S'SC．
（1）求证：在四棱锥S-ABCD中AB⊥SD．
（2）若AC长等于6，求异面直线AB与SC之间的距离．

Answer 1

分析：法一：（立体几何法）（1）由题设条件将面SAB，SAD，ABCD 展开成平面后的图形恰好为一正三角形S'SC可以判断棱锥是一个正四面体，由正四面体的性质再结合三垂线定理可证明结论；
（2）由题设条件，可将求异面直线AB与SC之间的距离的问题转化为求直线AB与平面SCD之间的距离，进而转化为点到面的距离即可求得两异面直线间的距离．
法二：（向量法）作SO⊥平面ABCD于O，取BA的三等分点E，则OE，OC，OS两两互相垂直建立坐标系，给出各点的空间坐标
（1）求出两直线AB与SD的方向向量，利用数量积为0与两向量垂直的关系证明两直线垂直即可；
（2）可两异面直线公垂线的方向向量的坐标为

n

=(x，y，z)，再由

n • AB =0 n • SC =0

建立方程求出此向量的坐标，然后由公式d=

| n • AS |

| n |

求出AS在此方向上的投影即可得到两异面直线之间的距离．

解答：解法一：（1）易知S-ABD是正四面体，作SO⊥平面ABCD于O，则O是正三角形ABD的垂心
∵AB⊥OD
∴AB⊥SD（三垂线定理）
（2）∵AC=6∴CD=SD=2

3

，设B到平面SCD的距离为d，SO=

SA2-AO2

=2

2

于是

3

4

•(2

3

)2•2

2

=

1

2

•(2

3

)2•d⇒d=

6

又AB∥平面SCD
∴异面直线AB与SC之间的距离即为点B到平面SCD的距离d，
所以两异面直线之间的距离为

6

．
解法二：作SO⊥平面ABCD于O，取BA的三等分点E，则OE，OC，OS两两互相垂直建立坐标系（如图）
A（-2，0，0，）  B（1，

3

，0）D（1，-

3

，0）
S（0，0，2

2

）

AB

=(3，

3

，0)

SD

=(1，-

3

，-2

2

)
（1）∵

AB

•

SD

=3×1+

3

×(-

3

)+0×(-2

2

)=0
∴AB⊥SD
（2）又C（4，0，0），可得

SC

=(4，0，-2

2

)，设

n

=(x，y，z)是两异面直线公垂线的方向向量，
于是有

n • AB =0 n • SC =0

代入向量坐标，令x=1，得

x=1 y=- 3 z= 2

∴

n

=(1，-

3

，

2

)，又

AS

=(2，0，2

2

)
∴两异面直线之间的距离d=

| n • AS |

| n |

=

2+4

1+3+2

=

6

点评：本题考查求两异面直线之间的距离及两线的垂直关系的判定，本解答给出两种解法，一个是传统方法几何法，一个是空间向量法，学习时要注意对比、体会两种方法的不同与特征，体会向量法求解立体几何题的过程与特点．本题考查了数形结合的思想与转化的思想．