Question

已知a∈R,函数f(x)=x²|x-a|.

(1)当a=2时,求使f(x)=x成立的x的集合;

(2)求函数y=f(x)在区间［1,2］上的最小值.

Answer 1

解：(1)由题意,f(x)=x²|x-2|.

    当x＜2时,f(x)=x²(2-x)=x,解得x=0或x=1;

    当x≥2时,f(x)=x²(x-2)=x,解得x=1+.

    综上,所求解集为{0,1,1+}.

(2)设此最小值为m.

①当1＜a≤1时,在区间［1,2］上,f(x)=x³-ax².

    因为f′(x)=3x²-2ax=3x(x-a)＞0,x∈(1,2),

    则f(x)是区间［1,2］上的增函数,所以m=f(1)=1-a.

②当1＜a≤2时,在区间［1,2］上,f(x)=x²|x-a|≥0,由f(a)=0知m=f(a)=0.

③当a＞2时,在区间［1,2］上,f(x)=ax²-x³.f′(x)=2ax-3x²=3x(a-x).

    若a≥3,在区间(1,2)内f′(x)＞0,从而f(x)为区间［1,2］上的增函数,由此得m=f(1)=a-1.

    若2＜a＜3,则1＜a＜2.

    当1＜x＜a时,f′(x)＞0,从而f(x)为区间［1,a］上的增函数;

    当a＜x＜2时,f′(x)＜0,从而f(x)为区间［a,2］上的减函数.

    因此,当2＜a＜3时,m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).

    当2＜a≤时,4(a-2)≤a-1,故m=4(a-2);

    当＜a＜3时,a-1＜4(a-2),故m=a-1.

    综上所述,所求函数的最小值m=