Question

15．已知数列{a_n}满足${a_n}=sin\frac{nπ}{3}+{（{-1}）^n}（{n∈{N^*}}）$，则S₂₀₁₅=（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -1
• C． 0
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 数列{a_n}满足${a_n}=sin\frac{nπ}{3}+{（{-1}）^n}（{n∈{N^*}}）$，可得：a_6k，a_6k-1，a_6k-2，a_6k-3，a_6k-4，a_6k-5．利用其周期性即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足${a_n}=sin\frac{nπ}{3}+{（{-1}）^n}（{n∈{N^*}}）$，
∴a_6k=sin2kπ+（-1）^6k=1，
a_6k-1=$sin（2kπ-\frac{π}{3}）$+（-1）^6k-1=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，
a_6k-2=$sin（2k-\frac{2π}{3}）$+（-1）^6k-2=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
a_6k-3=sin（2k-1）π+（-1）^6k-3=-1，
a_6k-4=$sin（2kπ-\frac{4π}{3}）$+（-1）^6k-4=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
a_6k-5=$sin（2kπ-\frac{5π}{3}）$+（-1）^6k-5=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1．
∴a_6k+a_6k-1+a_6k-2+a_6k-3+a_6k-4+a_6k-5=0．
则S₂₀₁₅=S_6×665+5=S₅=-1．
故选：B．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的周期性、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．