Question

已知等比数列的各项均为不等于1的正数，数列满足y_nlogx_na=2，（a>0且a¹1），设y₃=18，y₆=12，则

（1）数列前多少项和最大?最大值为多少；

（2）试判断是否存在自然数M，使得n>M时x_n>1恒成立，若存在，求出相应的M，若不存在，请说明理由；

（3）a_n=logx_nx_n+1(n¹12)的单调性如何？

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵ xn¹1且xn>0    ∴ ，    yn=2logaxn  又∵ 数列是等比数列，设公比为q(q>0且q¹1)  ∴ yn+1-yn=2´(logaxn+1-logaxn)=2logaq ∴ 为以2logaq为公差的等差数列，由y3=18，y6=12  得d=-2，即yn=24-2n，设前k项和最大，则，所以11或12项和最大为132 （2）由（1）可知，24-2n=2logaxnÞxn=a12-n（a>0且a¹1） 若xn>1，则a12-n>1，当a>1时，n<12，与n>M时恒成立矛盾，故不存在，当0<a<1时，n>12，所以存在M=12，13，…，当n>M时xn>1恒成立． （3） 当nÎN+且n<12时，为递减数列，当nÎN+且n>12时，为递增数列．