题目内容

函数f(x)=cos2x+sin(x+
π
2
)
是(  )
A、非奇非偶函数
B、仅有最小值的奇函数
C、仅有最大值的偶函数
D、既有最大值又有最小值的偶函数
分析:利用诱导公式化简解析式,根据奇(偶)的定义判断函数的奇偶性,由倍角公式和配方法整理解析式,根据余弦函数的值域求出函数的最值.
解答:解:f(x)=cos2x+sin(x+
π
2
)
=cos2x+cosx,
∴f(-x)=cos(-2x)+cos(-x)=cos2x+cosx=f(x),
∴此函数是偶函数,
∵f(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2(cosx+1)2-
9
8

∵cosx∈[-1,1],∴f(x)最大值是
55
8
,最小值是-
9
8

故选D.
点评:本题考查了余弦函数的奇偶性和单调性,利用了诱导公式、倍角公式和配方法整理解析式,最后转化为二次函数求最值,考查了转化思想和知识运用能力.
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