题目内容

【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直,ABBCOAC中点,OHPCH.

(1)证明:PC⊥平面BOH

(2)若,求二面角A-BH-O的余弦值.

【答案】(1)详见解析(2)

【解析】

(1)先证明平面,得到,结合已知,证得平面.(2)为空间坐标原点建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出二面角的余弦值.

解:(1)∵ABBCOAC中点,

BOAC

又平面PAC⊥平面ABC

平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,

BO⊥平面PAC

BOPC,又OHPCBOOHO

PC⊥平面BOH

(2)易知POAC,又BO⊥平面PAC

如图,以O为原点,OB所在的直线为x轴,建立空间直角

坐标系O - xyz,由易知OC=2,

设平面ABH的法向量为

, ∴,取x=2,得

由(1)知是平面BHO的法向量,易知

设二面角A-BH-O的大小为,显然为锐角,

∴ 二面角A-BH-O的余弦值为

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