Question

（2010•武汉模拟）在△ABC中，过A向BC边作垂线交BC边上一点于D，C=2B，BC=2，AD=

3

2

（1）求BD之长；
（2）求AC边长．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，设BD=x，则DC=2-x，由tanC=tan2B=

2tanB

1-tan2B

 可得

3

2(2-x)

=

2 • 3 2x

1-( 3 2x )2

，解方程求得x的值，即为所求．
（2）在△ABC中，根据tanB的值，求出角B，即可得到角C，角A的值，根据AC=BC•sinB 求出结果．

解答：解：（1）在△ABC中，设BD=x，则DC=2-x，由题意可得tanB=

3

2x

，tanC=

3

2(2-x)

．
又C=2B，∴tanC=tan2B=

2tanB

1-tan2B

，∴

3

2(2-x)

=

2 • 3 2x

1-( 3 2x )2

．
化简可得2x（2-1）=x²-

3

4

，解得 x=

3

2

 或x=-

1

6

 （舍去）．
于是所求BD之长为

3

2

．…（7分）
（2）在△BDA中，tanB=

3 2

3 2

=

3

3

，则B=

π

6

，C=

π

2

，A=

π

2

．
从而AC=BC•sinB=2•

1

2

=1．…（12分）

点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，三角形中的几何计算，属于中档题．