Question

已知函数f（x）=（ω＞0，x∈R）的最小正周期为．
（1）求f（x）的解析式，并写出函数f（x）图象的对称中心的坐标；
（2）当x∈[]时，设a=2^f（x），解不等式log_a（x²+x）＞log_a（x+2）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二倍角公式与辅助角公式即可求得f（x）的解析式，从而可写出函数f（x）图象的对称中心的坐标；
（2）根据f（x）=sin（4x-），x∈[]时，a=2^f（x），求得a∈（0，1）从而可求得不等式log_a（x²+x）＞log_a（x+2）的解集．
解答：解：（1）∵f（x）=sin2ωx-+
=sin2ωx-cos2ωx
=sin（2ωx-）．又f（x）的最小正周期为，
∴=，
∴ω=2，故f（x）=sin（4x-）
∴由4x-=kπ得：x=+，k∈Z，
∴函数f（x）图象的对称中心的坐标为：（+，0）k∈Z，
（2）∵≤x≤，
∴≤4x-≤，
∴f（x）=sin（4x-）＜0．
∴0＜a=2^f（x）＜1．
∵log_a（x²+x）＞log_a（x+2），
∴0＜x²+x＜x+2，
∴-＜x＜-1或0＜x＜．
当x∈[]时，不等式log_a（x²+x）＞log_a（x+2）的解集为：{x|-＜x＜-1或0＜x＜}．
点评：本题考查二倍角公式与辅助角公式，考查正弦函数的对称性与值域，突出考查解对数不等式，注重综合分析与应用能力的考查，属于难题．