Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ，对于任意的,函数在区间上总不是单调函数， 求的取值范围；

（3）求证：.

Answer 1

【答案】（1）当时，单调增区间为，减区间为，当时，单调增区间为，减区间为，当时，不是单调函数；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由，然后对、 和 分三种情况进行讨论；（2）由题知可得

一定有两个不等的实根,不妨设在上递减， 在上递增；（3）由（1）知当时，在上递增

．

试题解析：（1）由 ，①当时，显然 时，；当时， ，所以此时的单调增区间为减区间为； ②同理当时，的单调增区间为 ， 减区间为； ③当 时， 不是单调函数．

（2）由题知，得，所以，所以.因为,所以一定有两个不等的实根,又因为.不妨设 , 由已知时时，即在上递减， 在上递增， 依题意知，于是只需得.

（3）由（1）知当时， 在上递增， 所以 .在上式中分别令得

，以上不等式相乘得，两边同除以得

，即证．