已知向量$\overrightarrow{a}$=(cos$\frac{3x}{2}$.sin$\frac{3x}{2}$).$\overrightarrow{b}$=(cos$\frac{x}{2}$.-sin$\frac{x}{2}$).$\overrightarrow{c}$=(1)当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时.求x的值的集� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（$\sqrt{3}$，-1）
（1）当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时，求x的值的集合；
（2）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最大值．

分析（1）由$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$便有$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，从而根据向量数量积的坐标运算及两角和的余弦公式即可得到cos2x=0，从而得到$2x=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$，解出x即可得出x值的集合；
（2）先求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=（cos\frac{3x}{2}-\sqrt{3}，sin\frac{3x}{2}+1）$，然后表示出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|$，用上两角差的正弦公式及$si{n}^{2}\frac{3x}{2}+co{s}^{2}\frac{3x}{2}=1$即可化简成$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|=\sqrt{5+4sin（\frac{3x}{2}-\frac{π}{3}）}$，这样便可看出sin$（\frac{3x}{2}-\frac{π}{3}）$=1时，便可得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答解：（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=cos\frac{3x}{2}cos\frac{x}{2}-sin\frac{3x}{2}sin\frac{x}{2}$=cos2x=0；
∴$2x=\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z；
∴x值的集合为{x|x=$\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$}；
（2）∵$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=（cos\frac{3x}{2}-\sqrt{3}，sin\frac{3x}{2}+1）$，
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|$=$\sqrt{（cos\frac{3x}{2}-\sqrt{3}）^{2}+（sin\frac{3x}{2}+1）^{2}}$=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{3x}{2}-2\sqrt{3}cos\frac{3x}{2}+3+si{n}^{2}\frac{3x}{2}+2sin\frac{3x}{2}+1}$=$\sqrt{5+4sin（\frac{3x}{2}-\frac{π}{3}）}$；
∴$sin（\frac{3x}{2}-\frac{π}{3}）=1$时，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}|$取最大值3．

点评考查向量垂直的充要条件，向量数量积、减法的坐标运算，以及两角和与差的正余弦公式，已知三角函数值求角，sin²α+cos²α=1．

练习册系列答案

	A．	命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
	B．	“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
	C．	命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
	D．	命题“?x∈R使得x²+x+1＜0”的否定是：““?x∈R均有x²+x+1＜0”