题目内容

如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,E为棱CC1的中点,已知AB=
2
,BB1=2,BC=1.
(1)证明:BE是异面直线AB与EB1的公垂线;
(2)求二面角A-EB1-A1的大小;
(3)求点A1到面AEB1的距离.
(1)证明:∵AB⊥BC,AB⊥BB1,∴AB⊥面BC1,∴AB⊥BE
∵BE=B1E=
2
,BB1=2,∴∠BEB1=90°,∴BE⊥EB1
BE是异面直线AB与EB1的公垂
(2)∵AB⊥面BC1,BE⊥EB1,∴AE⊥EB1
∴∠AEB1为二面角A-EB1-A1的平面角
∵AB=
2
,BE=
2
,∴∠AEB=45°
∵面A1B1E⊥面BCB1C1,∴二面角A-EB1-A1为45°
(3)设点A1到面AEB1的距离为h,
由上证及题设条件知S△AEB1=
1
2
•AE•EB1=
2

SA1B1A=
1
2
A1B1•AA1=
2
,点E到面A1B1A的距离是1
VA1-AEB1=VE-A1B1A
1
3
×
2
×h=
1
3
×
2
×1
∴h=1
即点A1到面AEB1的距离.
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