Question

过点P(-

3

，0）作直线l与椭圆3x²+4y²=12相交于A、B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积的最大值及此时直线l的斜率．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：x=my-

3

，S△AOB=

1

2

|OP|•|y1|+

1

2

|OP||y2|=

3

(|y1|+|y2|)=

3

(y1-y2)，把x=my-

3

代入椭圆方程，得(3m2+4)y2-6

3

my-3=0，由此能求出△OAB的面积的最大值及此时直线l的斜率．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：x=my-

3

，
S△AOB=

1

2

|OP|•|y1|+

1

2

|OP||y2|
=

1

2

×

3

(|y1|+|y2|)=

1

2

×

3

(y1-y2)，
把x=my-

3

代入椭圆方程，得3（m²y²-2

3

my+3）+4y²-12=0，
即(3m2+4)y2-6

3

my-3=0，
y1+y2=

6 3 m

3m2+4

，y₁y₂=-

3

3m2+4

，
|y₁-y₂|=

108m2 (3m2+4)2 + 12 3m2+4

=

1

3m2+4

144x2+48

=

4 9m2+3

3m2+4

=

4 3 • 3m2+1

3m2+4

=

4 3 • 3m2+1

(3m2+1)+3

=

4 3 • 3m2+1

(3m2+1)+3

=

4 3 m

3m2+1 + 3 3m2+1

≤

4 3

2 3

=2，
∴S_△AOB≤

3

2

×2=

3

，
此时

3m2+1

=

3

3m2+1

，m=±

6

3

，
令直线的倾斜角为α，则k=tanα=±

3

6

=±

6

2

．
故△OAB的面积的最大值为

3

，此时直线l的斜率±

6

2

．

点评：本题考查椭圆的性质，解题时要结合图形进行求解．