题目内容

8、设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出以下命题:
①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;
②若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;
③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC;
④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心,其中正确命题的命题是
①②③④
分析:根据题意画出图形,然后对应选项一一判定即可.
解答:解:①若PA⊥BC,PB⊥AC,因为PH⊥底面ABC,所以AH⊥BC,同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,正确.
②若PA,PB,PC两两互相垂直,容易推出AH⊥BC,同理BH⊥AC,可得H是△ABC的垂心,正确.
③若∠ABC=90°,H是AC的中点,容易推出△PHA≌△PHB≌△PHC,则PA=PB=PC;正确.
设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出以下命题:
①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;
②若PA,PB,PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;
③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC;
④若PA=PB=PC,易得AH=BH=CH,则H是△ABC的外心,正确.
故答案为:①②③④
点评:本题考查棱锥的结构特征,考查学生发现问题解决问题的能力,三垂线定理的应用,是中档题.
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