Question

已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y-7=0相切。
（1）求圆C的方程；
（2）设直线：与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线过点P（-2，4）， 若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）圆C的方程为；
（2）把直线即代入圆的方程，
消去y整理，得，
由于直线交圆于A，B两点，
故，即，
由于，解得，
所以实数a的取值范围是。
（3）设符合条件的实数a存在，由于，则直线的斜率为，
的方程为， 即，
由于垂直平分弦AB，故圆心M（0，1）必在上，
所以，解得，
由于，
故不存在实数a，使得过点P（-2，4）的直线垂直平分弦AB。