题目内容
已知圆C的圆心在直线y=x+1上,且过点A(1,3),与直线x+2y-7=0相切。
(1)求圆C的方程;
(2)设直线
:
与圆C相交于A、B两点,求实数a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线过点P(-2,4), 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由。
(1)求圆C的方程;
(2)设直线



(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线过点P(-2,4), 若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由。
解:(1)圆C的方程为
;
(2)把直线
即
代入圆的方程,
消去y整理,得
,
由于直线
交圆于A,B两点,
故
,即
,
由于
,解得
,
所以实数a的取值范围是
。
(3)设符合条件的实数a存在,由于
,则直线
的斜率为
,
的方程为
, 即
,
由于
垂直平分弦AB,故圆心M(0,1)必在
上,
所以
,解得
,
由于
,
故不存在实数a,使得过点P(-2,4)的直线
垂直平分弦AB。

(2)把直线


消去y整理,得

由于直线

故


由于


所以实数a的取值范围是

(3)设符合条件的实数a存在,由于






由于


所以


由于

故不存在实数a,使得过点P(-2,4)的直线


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