题目内容
【题目】已知函数,
,
(Ⅰ)当,
时,求曲线
在
处的切线方程;
(Ⅱ)当时,若对任意的
,
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)当,
时,若方程
有两个不同的实数解
,求证:
.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)详见解析
【解析】
(Ⅰ)求出的导函数,求出函数在
时的导数得到切线的斜率,然后用一般式写出切线的方程;
(Ⅱ)对,
都成立,则对
,
,恒成立,构造函数
,求出
的最大值可得
的范围;
(Ⅲ)由,得
,构造函数
,将问题转化为证明
,然后构造函数证明
即可.
解:(Ⅰ)当时,
时,
,∴当
时,
,
∴,∴当
时
.
∴曲线在
处的切线方程为
;
(Ⅱ)当时,对
,
都成立,则对
,
恒成立,
令,则
.令
,则
,
∴当,
,此时
单调递增;当
时,
,此时
单调递减,
∴,∴
,
∴的取值范围为
;
(Ⅲ)当,
时,由
,得
,
方程有两个不同的实数解
.
令.则
.
.令
.则
,
∴当时.
.此时
单调递增;当
时.
.此时
单调递减,
∴,∴
,又
,
,
∴,∴
,
∴只要证明,就能得到
.即只要证明
,
令,则
,
∴在
上单调减,则
,
∴,∴
,
∴,∴
,即
,证毕.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在中老年人群体中,肠胃病是一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动之间的联系,调查了50位中老年人每周运动的总时长(单位:小时),将数据分成[0,4),[4,8),[8,14),[14,16),[16,20),[20,24]6组进行统计,并绘制出如图所示的柱形图.
图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定:每周运动的总时长少于14小时为运动较少.
每周运动的总时长不少于14小时为运动较多.
(1)根据题意,完成下面的2×2列联表:
有肠胃病 | 无肠胃病 | 总计 | |
运动较多 | |||
运动较少 | |||
总计 |
(2)能否有99.9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关?
附:K2(n=a+b+c+d)
P(K2≥k) | 0.0.50 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品,为了检测两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本,检测一项质量指标值,若该项质量指标值落在内,则为合格品,否则为不合格品. 表1是甲套设备的样本的频数分布表,图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.
表1:甲套设备的样本的频数分布表
质量指标值 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 18 | 19 | 6 | 1 |
图1:乙套设备的样本的频率分布直方图
(1)将频率视为概率. 若乙套设备生产了5000件产品,则其中的不合格品约有多少件;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;
甲套设备 | 乙套设备 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
0.15 | 0.10 | 0.050 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 |
附:.