题目内容

在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量 $数学公式$ =（1，cosA-1）， $数学公式$ =（cosA，1）且满足 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a= $数学公式$ ，b+c=3 求b、c的值．

解：（Ⅰ）∵向量 $\text{[math]}$ =（1，cosA-1）， $\text{[math]}$ =（cosA，1）且满足 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，
∴cosA+cosA-1=0，∴cosA= $\text{[math]}$ ，
∵A为△ABC内角，∴A=60°
（Ⅱ）∵a= $\text{[math]}$ ，A=60°，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得a²=（b+c）²-2bc-2bccosA
∵b+c=3，∴3=9-3bc，bc=2
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）利用向量的数量积为0，建立方程，即可求A的大小；
（Ⅱ）由余弦定理可得bc=2与条件联立，即可求得结论．
点评：本题考查向量的数量积，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．