Question

16．已知f（x）=ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx-1的导函数为f′（x），且不等式f′（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤1}．
（1）若函数f（x）在x=2处的切线斜率是-3，求实数a的值；
（2）当x∈[-3，0]时，关于x的方程f（x）-ma+1=0恰有两个实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=3ax²+bx+c，从而可得f′（x）=3a（x+2）（x-1），且a＜0；再由f′（2）=-3解得；
（2）结合（1）知b=3a，c=-6a，从而可化简方程为x³+$\frac{3}{2}$x²-6x-m=0，利用数形结合的方法求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³+$\frac{1}{2}$bx²+cx-1，
∴f′（x）=3ax²+bx+c，
又∵不等式f′（x）≥0的解集为{x|-2≤x≤1}，
∴f′（x）=3a（x+2）（x-1），且a＜0；
∴f′（2）=3a（2+2）（2-1）=-3，
解得，a=-$\frac{1}{4}$；
（2）由（1）知，b=3a，c=-6a，
故f（x）-ma+1=0可化为ax³+$\frac{1}{2}$•3ax²-6ax-1-ma+1=0，
即x³+$\frac{3}{2}$x²-6x-m=0，
即x³+$\frac{3}{2}$x²-6x=m，
令g（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x，则g′（x）=3x²+3x-6=3（x+2）（x-1），
故g（-3）=-27+$\frac{27}{2}$+18=$\frac{9}{2}$，g（-2）=-8+6+12=10，
g（0）=0，
作g（x）=x³+$\frac{3}{2}$x²-6x的图象如下，
，
结合图象可知，实数m的取值范围为[$\frac{9}{2}$，10）．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．