Question

12．已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x+1）=f（x-1），且f（x）是偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-x²+1，若方程f（x）=a|x|至少有4个相异实根，则实数a的取值范围是[0，4-2$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由题意可判断函数数f（x）的周期T=2，从而作f（x）与g（x）=a|x|的图象，结合图象可知a≥0；且当在（1，3）上相切时取得另一个临界值，利用导数求出此时的a，即可得到实数a的取值范围．

解答 解：由题意知，函数f（x）的周期T=2，
且f（x）是偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-x²+1；
作f（x）与g（x）=a|x|的图象如下，

结合图象可知，a≥0；
当在（1，3）上相切时，
f（x）=-（x-2）²+1，f′（x）=-2（x-2），
故-2（x-2）=$\frac{-（x-2）^{2}+1}{x}$，
解得，x=$\sqrt{3}$；
故a=f′（$\sqrt{3}$）=-2（$\sqrt{3}$-2）=4-2$\sqrt{3}$；
故实数a的取值范围是[0，4-2$\sqrt{3}$]．
故答案为：[0，4-2$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．