题目内容
设
(I)求f(x)的单调区间与极值;
(II)求方程f(x)=0的实数解的个数.
【答案】分析:(I)利用函数的求导公式求出函数的导数,根据导数求函数的单调性和极值.
(II)由于
,所以
,
.再进行分类讨论.
解答:解:(I)f'(x)=2x2-2,由f'(x)=2x2-2=0得 x=-1或x=1.
所以,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),单调递减区间为(-1,1);
极大值为
,极小值为
.
(II)由于
,所以
,
.
①当
时,f(-1)=0,即x=-1是方程f(x)=0的一个解.
又因为
,
所以,方程f(x)=0在(1,3)内至少有一个解.根据函数f(x)单调性可知,方程f(x)=0有两个不同的解.
②当
时,
,即x=1是方程f(x)=0的一个解.
又因为
,
所以方程f(x)=0在(-3,-1)内至少有一个解.根据函数f(x)单调性可知,方程f(x)=0有两个不同的解.
③当
时,
,
,所以方程f(x)=0在(-1,1)内至少有一个解.又由f(-3)=m-12<0,知方程f(x)=0在(-3,-1)内至少有一个解;由f(3)=12+m>0,知方程f(x)=0在(1,3)内至少有一个解.根据函数f(x)单调性可知,方程f(x)=0有三个不同的解.
点评:通过本题考查学生几个方面的能力:(1)能否将“求方程f(x)=0的实数解的个数”问题转化为函数f(x)的零点问题;(2)对于函数问题,是否能够主动运用导数这一工具来研究函数整体的状态、性质.
(II)由于
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解答:解:(I)f'(x)=2x2-2,由f'(x)=2x2-2=0得 x=-1或x=1.
x | (-∞,-1) | -1 | (-1,1) | 1 | (1,+∞) |
f'(x) | + | -- | + | ||
f(x) | 单增 | 极大值 | 单减 | 极小值 | 单增 |
极大值为
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(II)由于
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①当
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又因为
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所以,方程f(x)=0在(1,3)内至少有一个解.根据函数f(x)单调性可知,方程f(x)=0有两个不同的解.
②当
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又因为
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所以方程f(x)=0在(-3,-1)内至少有一个解.根据函数f(x)单调性可知,方程f(x)=0有两个不同的解.
③当
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点评:通过本题考查学生几个方面的能力:(1)能否将“求方程f(x)=0的实数解的个数”问题转化为函数f(x)的零点问题;(2)对于函数问题,是否能够主动运用导数这一工具来研究函数整体的状态、性质.
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