题目内容

设 $数学公式$ ．
（I）求f（x）的单调区间与极值；
（II）求方程f（x）=0的实数解的个数．

解：（I）f'（x）=2x²-2，由f'（x）=2x²-2=0得 x=-1或x=1．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	--	0	+
f（x）	单增	极大值	单减	极小值	单增

所以，f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）；
极大值为 $\text{[math]}$ ，极小值为 $\text{[math]}$ ．
（II）由于 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
①当 $\text{[math]}$ 时，f（-1）=0，即x=-1是方程f（x）=0的一个解．
又因为 $\text{[math]}$ ，
所以，方程f（x）=0在（1，3）内至少有一个解．根据函数f（x）单调性可知，方程f（x）=0有两个不同的解．
②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，即x=1是方程f（x）=0的一个解．
又因为 $\text{[math]}$ ，
所以方程f（x）=0在（-3，-1）内至少有一个解．根据函数f（x）单调性可知，方程f（x）=0有两个不同的解．
③当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以方程f（x）=0在（-1，1）内至少有一个解．又由f（-3）=m-12＜0，知方程f（x）=0在（-3，-1）内至少有一个解；由f（3）=12+m＞0，知方程f（x）=0在（1，3）内至少有一个解．根据函数f（x）单调性可知，方程f（x）=0有三个不同的解．
分析：（I）利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数求函数的单调性和极值．
（II）由于 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．再进行分类讨论．
点评：通过本题考查学生几个方面的能力：（1）能否将“求方程f（x）=0的实数解的个数”问题转化为函数f（x）的零点问题；（2）对于函数问题，是否能够主动运用导数这一工具来研究函数整体的状态、性质．