Question

已知数列{a_n}的前项和S_n，当n≥2时，点(

1

Sn-1

，

1

Sn

)在f（x）=x+2的图象上，且S₁=

1

2

（1）数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2（1-n）a_n求f（n）=

bn+2

(n+5)bn-1

的最大值及相应的n的值；
（3）在（2）的条件下当n≥2时，设Tn=

b

2 2

+

b

2 3

+…

b

2 n

．证明：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由n≥2时，点(

1

Sn-1

，

1

Sn

)在f（x）=x+2的图象上，易得数列{

1

Sn

}是一个以2为公差的等差数列，求出S_n的通项公式后，由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，得到数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=2（1-n）a_n，结合（1）中数列{a_n}的通项公式，可得数列{b_n}的通项，进而得到f（n）的表达式，进行利用基本不等式，求出f（n）的最大值及相应的n的值；
（3）由（2）中数列{b_n}的通项，利用放缩法和裂项相消法，可得 T_n＜1-

1

n+1

＜1．

解答：解：（1）∵n≥2时，点(

1

Sn-1

，

1

Sn

)在f（x）=x+2的图象上，
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，（n≥2）
故数列{

1

Sn

}是一个以2为公差的等差数列
又∵S₁=

1

2

，

1

S1

=2
∴

1

Sn

=2n，即S_n=

1

2n

∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=

1

2(n-1)n

又∵n=1时，

1

2(n-1)n

无意义
故a_n=

1 2 ，n=1 1 2(n-1)n ，n≥2

（2）∵b_n=2（1-n）a_n，
∴当n=1时，b₁=0，
当n≥2时，b_n=2（1-n）•

1

2(n-1)n

=

1

n

∴f（n）=

bn+2

(n+5)bn-1

=

n+1

(n+2)(n+5)

=

1

(n+1)+ 4 n+1 +5

≤

1

9

当且仅当n+1=2，即n=1时取等
（3）当n≥2时，
Tn=

b

2 2

+

b

2 3

+…

b

2 n

=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1
即T_n＜1

点评：本题是数列与不等式的综合应用，熟练掌握数列的函数特征，掌握数列通项公式及数列求和的常用方法和技巧是解答的关键．