Question

给定下列命题：
①函数y=sin(

π

4

-2x)的单增区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)；
②已知|

a

|=|

b

|=2，

a

与

b

的夹角为

π

3

，则

a

+

b

在

a

上的投影为3；
③函数y=f（x）与y=f^-1（x）-1的图象关于直线x-y+1=0对称；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

4

处取得最小值，则f(

3π

2

-x)=-f(x)；
⑤若sinx+siny=

1

3

，则siny-cos2x的最大值为

4

3

．
则真命题的序号是

①②③④

．

Answer 1

分析：①函数y=sin(

π

4

-2x)的增区间满足-

π

2

+2kπ≤

π

4

-2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z，故①正确；
②

a

+

b

在

a

上的投影为2+2xsin30°=3，故②正确；
③由函数y=f（x）与y=f^-1（x）图象关于直线x-y=0对称，知③正确；
④由f（x）=asinx-bcosx=

a2+b2

sin(x-θ)在x=

π

4

处取得最小值，其中tanθ=

b

a

，得θ=-

5π

4

，所以f(

3π

2

-x)=-f(x)，故④成立；
⑤sinx+siny=

1

3

，siny=

1

3

-sinx，由此能导出sinx=-

1

4

时，有ω_max=-

13

24

，故⑤不正确．

解答：解：①函数y=sin(

π

4

-2x)的增区间满足-

π

2

+2kπ≤

π

4

-2x≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴函数y=sin(

π

4

-2x)的增区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)，故①正确；
②∵|

a

|=|

b

|=2，

a

与

b

的夹角为

π

3

，
∴

a

+

b

在

a

上的投影为|

a

|+|

b

|•sin（

π 3

2

）=2+2xsin30°=2+1=3，故②正确；
③由函数y=f（x）与y=f^-1（x）图象关于直线x-y=0对称，
知函数y=f（x）与y=f^-1（x）-1的图象关于直线x-y+1=0对称，故③正确；
④∵f（x）=asinx-bcosx=

a2+b2

sin(x-θ)在x=

π

4

处取得最小值，其中tanθ=

b

a

，
所以

π

4

-θ=

3π

2

，得θ=-

5π

4

，
所以f(

3π

2

-x)=-f(x)，故④成立；
⑤sinx+siny=

1

3

，siny=

1

3

-sinx，
由-1≤siny≤1，-1≤sinx≤1得
-1≤

1

3

-sinx≤1
-

2

3

≤sinx≤1
ω=siny-cos²x
=

1

3

-sinx-2sin²x-1
=-2sin²x-sinx-

2

3

=-2（sinx+

1

4

）²-

13

24

sinx=-

1

4

时，有ω_max=-

13

24

，故⑤不正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数、向量、函数对称性等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答．