题目内容
已知数列{an}的前n项和为Sn,点Pn(an,-1 |
an+1 |
4+
|
(1)求证:数列{
1 | ||
|
(2)数列{bn}的前n项和为Tn,且满足
Tn+1 | ||
|
Tn | ||
|
(3)求证:Sn>
1 |
2 |
4n+1 |
分析:(1)、将点Pn(an,-
)(n∈N*)代入f(x)的表达式中即可求出
-
为定值便证明了数列{
}是等差数列,将a1=1,d=4代入即可求出an的表达式;
(2)将(1)中求得的an的通项公式代入(2)中的公式便可求出Tn的表达式,进而求得bn的通项公式,根据bn的通项公式即可证明bn为等差数列;
(3)根据(1)中求得的an的通项公式先证明an≥
(
-
),即可证明数列an的前n项和Sn>
-1(n∈N*).
1 |
an+1 |
1 | ||
|
1 | ||
|
1 | ||
|
(2)将(1)中求得的an的通项公式代入(2)中的公式便可求出Tn的表达式,进而求得bn的通项公式,根据bn的通项公式即可证明bn为等差数列;
(3)根据(1)中求得的an的通项公式先证明an≥
1 |
2 |
4n+1 |
4n-3 |
1 |
2 |
4n+1 |
解答:解:(1)由于y=-
,点P(an,-
)在曲线y=f(x)上,
∴-
=f(an)=-
,并且an>0∴
=
∴
-
=4(n∈N*)
∴数列{
}是等差数列,首项
=1,公差d=4.
∴
=1+4(n-1)
an2=
,∵an>0
∴an=
(n∈N*)…(3分)
(2)an=
,
=
+16n2-8n-3,
得(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1)∴
=
+1,
令Cn=
,如果C1=1,此时b1=T1=1∴Cn=1+(n-1)×1=n,n∈N*
则Tn=(4n-3)n=4n2-3n,n∈N*,
∴bn=8n-7,n∈N*
又∵bn+1-bn=8
∴此时数列{bn}是等差数列且b1=1.…(6分)
(3)∵an=
=
>
=
…(10分)
4+
|
1 |
an+1 |
∴-
1 |
an+1 |
4+
|
1 |
an+1 |
4+
|
1 | ||
|
1 | ||
|
∴数列{
1 | ||
|
1 | ||
|
∴
1 | ||
|
an2=
1 |
4n-3 |
∴an=
1 | ||
|
(2)an=
1 | ||
|
Tn+1 | ||
|
Tn | ||
|
得(4n-3)Tn+1=(4n+1)Tn+(4n-3)(4n+1)∴
Tn+1 |
4n+1 |
Tn |
4n-3 |
令Cn=
Tn |
4n-3 |
则Tn=(4n-3)n=4n2-3n,n∈N*,
∴bn=8n-7,n∈N*
又∵bn+1-bn=8
∴此时数列{bn}是等差数列且b1=1.…(6分)
(3)∵an=
1 | ||
|
2 | ||
2
|
2 | ||||
|
| ||||
2 |
|
点评:本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列与不等式的结合,考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握,解题时注意整体思想和转化思想的运用,属于中档题.

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