题目内容

【题目】函数f(x)=lnx﹣ax2+x有两个零点,则实数a的取值范围是(
A.(0,1)
B.(﹣∞,1)
C.(﹣∞,
D.(0,

【答案】A
【解析】解:∵函数f(x)=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点, 不妨令g(x)=lnx,h(x)=ax2﹣x,
将零点问题转化为两个函数交点的问题;
又函数h(x)=x(ax﹣1),
当a≤0时,g(x)和h(x)只有一个交点,不满足题意;
当a>0时,由lnx﹣ax2+x=0,得a=
令r(x)= ,则r′(x)= =
当0<x<1时,r'(x)>0,r(x)是单调增函数,
当x>1时,r'(x)<0,r(x)是单调减函数,且 >0,∴0<a<1;
或当a>0时,作出两函数g(x)=lnx,h(x)=ax2﹣x的图象,如图所示;
g(x)=lnx交x轴于点(1,0),
h(x)=ax2﹣x交x轴于点(0,0)和点( ,0);
要使方程有两个零点,应满足两函数有两个交点,
>1,解得0<a<1;
∴a的取值范围是(0,1).
故选:A.
函数f(x)=lnx﹣ax2+x有两个不同的零点,转化为函数g(x)=lnx和h(x)=ax2﹣x交点的问题;
讨论a≤0时不满足题意,a>0时,求得(a)max=1,当x→+∞时,a→0,从而可得答案.
或a>0时,作出两函数g(x)=lnx,h(x)=ax2﹣x的图象,由 >1求出a的取值范围.

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