题目内容
13.在△ABC中,已知cosC=$\frac{1}{3}$,$\sqrt{2}$sinA=3cosB,则tanB的值等于$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.分析 由cosC=$\frac{1}{3}$,C∈(0,π),可得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$,由A+B+C=π,可得sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{1}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosB,又sinA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cosB.即可得出tanB.
解答 解:∵cosC=$\frac{1}{3}$,C∈(0,π),
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∵A+B+C=π,
∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{1}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosB,
又sinA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cosB.
∴$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cosB=$\frac{1}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$cosB,
∴解得:tanB=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
故答案为:$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
点评 本题考查了两角和差的正弦函数、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
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