Question

17．已知函数f（x）=e^x，这里e为自然对数的底数．
（1）求函数y=f（x）-x的单调区间；
（2）当x＞0时，证明：f（x）-x+ln$\frac{f（x）}{x}$＞2；
（3）若当x≤0时，f（-x）-1+x-$\frac{a}{2}$x²≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，然后利用导函数在各区间段的符号求函数的单调期间；
（2）把证$f（x）-x+ln\frac{f（x）}{x}＞2$转化为e^x-x+x-lnx＞2，然后令${f}_{1}（x）={e}^{x}-x$，f₂（x）=x-lnx，由导函数求得两函数的最小值后得答案；
（3）把f（-x）代入f（-x）-1+x-$\frac{a}{2}$x²≥0，题转化为：当x≤0时，h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围，令$h（x）={e}^{-x}-1+x-\frac{a}{2}{x}^{2}$，求其导函数，结合（1）中e^x≥1+x，通过放缩可得使x≤0时，满足h′（x）≤0的a的范围为a≤1，当a＞1时，通过放缩可得当x∈（-lna，0）时，h′（x）≥（1-e^x）（-e^-x+a）＞0，说明h（x）在（-lna，0）上单调递增，得到当x∈（-lna，0）时，h（x）＜h（0）=0，说明不满足对任意x≤0，有f（-x）-1+x-$\frac{a}{2}$x²≥0恒成立，从而求得实数a的取值范围．

解答 （1）解：由y=f（x）-x=e^x-x，得y′=e^x-1，
由y′=e^x-1＞0，得x＞0，由y′=e^x-1＜0，得x＜0．
∴函数y=f（x）-x的单调减区间为（-∞，0），单调增区间为（0，+∞）；
（2）证明：要证$f（x）-x+ln\frac{f（x）}{x}＞2$，即证e^x-x+x-lnx＞2．
令${f}_{1}（x）={e}^{x}-x$．
由（1），当x＞0时，f₁（x）＞f₁（0）=1，即e^x-x＞1．①
令f₂（x）=x-lnx，则${{f}_{2}}^{′}（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．
当0＜x＜1时，${{f}_{2}}^{′}（x）＜0$；当x＞1时，${{f}_{2}}^{′}（x）＞0$．
∴f₂（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数．
∴当x＞0时，f₂（x）≥f₂（1）=1，即x-lnx≥1．②
①②两式相加得e^x-x+x-lnx＞2；
（3）解：f（-x）-1+x-$\frac{a}{2}$x²≥0，即为${e}^{-x}-1+x-\frac{a}{2}{x}^{2}≥0$．
令$h（x）={e}^{-x}-1+x-\frac{a}{2}{x}^{2}$，则h′（x）=-e^-x+1-ax．
问题转化为：当x≤0时，h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
由（1）知e^x≥1+x，当且仅当x=0时取等号．
故e^-x≥1-x，
∴-e^-x+1≤x，当且仅当x=0时取等号．
∴h′（x）=-e^-x+1-ax≤x-ax=（1-a）x，当且仅当x=0时取等号．
当1-a≥0时，则a≤1．
从而，当x≤0时，h′（x）≤0，当且仅当a=1，且x=0时取等号．
∴h（x）在（-∞，0]上单调递减，
∴h（x）≥h（0）=0．
由（1）知e^x≥1+x，∴x≤e^x-1．
∴-x≥1-e^x，当且仅当x=0时取等号．
当a＞1时，h′（x）=-e^-x+1-ax≥-e^-x+1+a（1-e^x）=（1-e^x）（-e^-x+a）．
令-e^-x+a＞0，得e^-x＜a，即x＞-lna．
从而，当x∈（-lna，0）时，h′（x）≥（1-e^x）（-e^-x+a）＞0．
∴h（x）在（-lna，0）上单调递增．
∴当x∈（-lna，0）时，h（x）＜h（0）=0．
可见，a＞1不满足题意．
综上，所求实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，考查不等式恒成立时所取的条件，着重考查了数学转化思想方法，属难题．