题目内容
在平面直角坐标系中，
的两个顶点
、
的坐标分别是（-1,0）,(1,0),点
是的重心，
轴上一点
满足
，且
.
（1）求的顶点
的轨迹
的方程；
（2）不过点的直线
与轨迹交于不同的两点
、
,当
时，求
与
的关系，并证明直线
过定点.
(1) 
(2) 
,直线过定点
解析试题分析：（1）设点坐标为
，
因为为的重心，故点坐标为
.
由点在轴上且知，点的坐标为
, ……2分
因为，所以
，即.
故的顶点的轨迹的方程是. ……4分
(2)设直线
与
的两交点为
.
由
消去得
，
则
,
且
,
. ……8分
因为，所以
,
故
，
整理得
.解得
. ……10分
①当
时=
，直线过点（-1，0）不合题意舍去。
②当时，=
，直线过点.
综上所述,直线过定点. ……12分
考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系.
点评：求曲线方程时，不要忘记验证是否有限制条件；解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般离不开直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，此时不要忘记验证判别式大于零.
练习册系列答案
相关题目
：
(
)过点
，其左、右焦点分别为
，且
.
的方程；
是直线
上的两个动点，且
，则以
为直径的圆
是否过定点？请说明理由．
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
，直线
的参数方程是
（
为参数）。
的极坐标；
、
分别为曲线
的最小值。
中，点
，点
为抛物线
的焦点，
恰被抛物线
平分．
的值；
作直线
交抛物线
两点，设直线
、
、
的斜率分别为
、
、
，问
能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线
的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,
.
，求椭圆C的方程.
（
）过点
（0，2），离心率
.
（2，0）的直线
与椭圆相交于
两点，且
为锐角（其中
为坐标原点),求直线
（其中
且
为常数）的图像经过点A
、B
．
是函数
图像上的点，
是
正半轴上的点．
为坐标原点，
是一系列正三角形，记它们的边长是
，求数列
的通项公式；
满足
，记
项和为
，证明：
。
是椭圆E：
（
）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（
）．求证：直线AB的斜率为定值；
经过点
离心率为
。