题目内容

设函数f(x)=|x+1|+|2x-1|
(I)画出函数y=f(x)的图象;
(II)若对任意x∈(-∞,0],f(x)≤ax+b恒成立,求a-b的最大值.

【答案】分析:(I)通过去掉绝对值符号,得到分段函数,即可画出函数y=f(x)的图象;
(II)结合函数的图象,对任意x∈(-∞,0],f(x)≤ax+b恒成立,通过直线y=ax+b与y=-3x的斜率及y=2-x在y轴上的截距,求a-b的最大值.
解答:解:由于函数f(x)=|x+1|+|2x-1|,
所以函数f(x)=
则函数y=f(x)的图象如图所示.
(II)结合函数图象,比较直线y=ax+b与y=-3x的斜率及y=2-x在y轴上的截距,
当且仅当时,不等式f(x)≤ax+b在x∈(-∞,0]上恒成立.
∴a-b≤5,即a-b的最大值为:-5.
点评:本题考查函数的图象直线的斜率以及直线的焦距的应用,考查计算能力.
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