Question

已知函数f（x）=lg（2+x），g（x）=lg（2-x），设h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求函数h（x）的定义域及值域；
（Ⅱ）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=lg（2+x），g（x）=lg（2-x），知h（x）=f（x）+g（x）=lg（2+x）+lg（2-x）=lg（4-x²）．由此能求出函数h（x）的定义域和值域．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数h（x）的定义域{x|-2＜x＜2}关于原点对称，且h（-x）=lg（2-x）+lg（2+x）=h（x），由此能判断h（x）的奇偶性．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lg（2+x），g（x）=lg（2-x），
∴h（x）=f（x）+g（x）=lg（2+x）+lg（2-x）．
由

2+x＞0 2-x＞0

得-2＜x＜2．
所以函数h（x）的定义域是{x|-2＜x＜2}．
h（x）=f（x）+g（x）=lg（4-x²）．
∵-2＜x＜2，∴0＜4-x²≤4，
∴lg（4-x²）≤2lg2，所以函数h（x）的值域是（-∞，2lg2]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数h（x）的定义域{x|-2＜x＜2}关于原点对称，
且h（-x）=lg（2-x）+lg（2+x）=h（x），
∴h（x）是偶函数．

点评：本题考查函数的定义域、值域和奇偶性的求法，解题时要认真审题，注意对数函数性质的灵活运用．