题目内容
17、已知a、b、c是互不相等的非零实数．
求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．
求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．
分析：假设要证的结论的反面成立，即三个方程中都没有两个相异实根，则他们的判别式都小于0，利用不等式的性质可得
（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0，由于a、b、c互不相等，进而可得矛盾，原命题得到证明．
（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0，由于a、b、c互不相等，进而可得矛盾，原命题得到证明．
解答：证明：反证法：
假设三个方程中都没有两个相异实根，
则△1=4b2-4ac≤0，△2=4c2-4ab≤0，△3=4a2-4bc≤0．
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0，
（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0．①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
假设三个方程中都没有两个相异实根，
则△1=4b2-4ac≤0，△2=4c2-4ab≤0，△3=4a2-4bc≤0．
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0，
（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0．①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．
点评：本题考查反证法证题的方法和步骤，假设结论的反面成立，依据定义、定理和性质推出矛盾，说明假设不对，从而要证的结论成立．
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