Question

22.已知数列{a_n}的前n项和S_n满足

S_n=2a_n+（－1）ⁿ,n≥1.

（Ⅰ）写出数列{a_n}的前3项a₁,a₂,a₃;

（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式;

（Ⅲ）证明：对任意的整数m＞4,有++…+＜.

Answer 1

22.本小题主要考查数列的通项公式,等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

（Ⅰ）解：由a₁=S₁=2a₁－1,得a₁=1.

由a₁+a₂=S₂=2a₂+（－1）²,得a₂=0.

由a₁+a₂+a₃=S₃=2a₃+（－1）³,得a₃=2.

（Ⅱ）解：当n≥2时,有

a_n=S_n－S_n－1=2（a_n－a_n－1）+2×（－1）ⁿ，

a_n=2a_n－1+2×（－1）^n－1，

a_n－1=2a_n－2+2×（－1）^n－2，

……

a₂=2a₁－2.

所以a_n=a₁+×（－1）+×（－1）²+…+2×（－1）^n－1

=2^n－1+（－1）ⁿ［++…+（－2）］

=－（－1）ⁿ

=［2^n－2+（－1）^n－1］.

经验证a₁也满足上式,所以a_n=［2^n－2+（－1）^n－1］,n≥1.

（Ⅲ）证明：由通项公式得a₄=2.

当n≥3且n为奇数时,+=［］

=×＜×

=（+）.

当m＞4且m为偶数时,++…+

=+（+）+…+（+）

<+（++…+）

=+××（1－）

<+=.

当m>4且m为奇数时，

++…+<++…++<.

所以对任意整数m>4,有

++…+<.