题目内容

已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁=2，设该数列的前n项和为S_n，且S_n= $数学公式$ （n=1，2，3，…，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a= $数学公式$ ，数列{b_n}满足b_n= $数学公式$ ，（n=1，2，3，…，2k），求证：1≤b_n≤2；
（3）若（2）中数列{b_n}满足不等式：|b₁- $数学公式$ |+ $数学公式$ ，求k的最大值．

解：（1）S_n= $\text{[math]}$ ①，S_n+1= $\text{[math]}$ ②
②-①得，S_n+1-S_n=a_n+1= $\text{[math]}$
化简整理得，a_n+2=a•a_n+1， $\text{[math]}$ =a（ n≥1）
又由已知a₁=S₁= $\text{[math]}$ ，整理得出a₂=a•a₁∴数列{a_n}是以a为公比，以2为首项的等比数列，
通项公式为a_n=2×a ^n-1．（2）由（1）得a_n=2a^n-1，
∴a₁a₂a_n=2ⁿa^{1+2+…+（n-1）}=2ⁿ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
b_n= $\text{[math]}$ （n=1，2，，2k）．
∵2k-1≤n-1∴ $\text{[math]}$
即1≤b_n≤2；

（3）设b_n≤ $\text{[math]}$ ，解得n≤k+ $\text{[math]}$ ，又n是正整数，于是当n≤k时，b_n＜ $\text{[math]}$ ；
当n≥k+1时，b_n＞ $\text{[math]}$ ．
原式=（ $\text{[math]}$ -b₁）+（ $\text{[math]}$ -b₂）+…+（ $\text{[math]}$ -b_k）+（b_k+1- $\text{[math]}$ ）+…+（b_2k- $\text{[math]}$ ）
=（b_k+1+…+b_2k）-（b₁+…+b_k）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ≤4，得k²-8k+4≤0，4-2 $\text{[math]}$ ≤k≤4+2 $\text{[math]}$ ，又k≥2，
∴当k=2，3，4，5，6，7时，原不等式成立．
k的最大值为7．
分析：（1）要根据Sn与an的固有关系a_n= $\text{[math]}$ ，得出a_n+2=a•a_n+1，再考虑 $\text{[math]}$ 的值，判定{a_n}的性质去求解．
（2）首先利用（1）的结论和条件获得a_n的表达式，然后对a₁a_2…a_n进行化简，结合对数运算即可获得数列{b_n}的通项公式；
（3）首先利用分类讨论对 $\text{[math]}$ 的大小进行判断，然后对所给不等式去绝对值，即可找到关于k的不等式，进而问题即可获得解答．
点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、对数运算的知识以及绝对值和解不等式的知识．值得同学们体会和反思．