Question

5．设M是一个非空集合，f是一种运算．如果对于集合M中任意两个元素p，q，实施运算f的结果仍是集合中的元素，那么就说集合M对于运算f是“封闭的”．已知集合M={x|x=a+b$\sqrt{2}$，a，b∈Q}．试验证M对于加法、减法、乘法和除法（除数不为0）运算是封闭的．

Answer 1

分析 根据题意，设x=a+b$\sqrt{2}$，y=m+n$\sqrt{2}$，其中，a，b，m，n∈Q，再直接用定义验证．

解答 解：根据题意，设x=a+b$\sqrt{2}$，y=m+n$\sqrt{2}$，其中，a，b，m，n∈Q，
“加法”：x+y=（a+b$\sqrt{2}$）+（m+n$\sqrt{2}$）=（a+m）+（b+n）$\sqrt{2}$∈M，对加法封闭，
“减法”：x-y=（a+b$\sqrt{2}$）-（m+n$\sqrt{2}$）=a-m+（b-n）$\sqrt{2}$∈M，对减法封闭，
“乘法”：xy=（a+b$\sqrt{2}$）×（m+n$\sqrt{2}$）=（am+2bn）+（an+bm）$\sqrt{2}$∈M，对乘法封闭，
“除法”：$\frac{x}{y}$=$\frac{a+b\sqrt{2}}{m+n\sqrt{2}}$=$\frac{（a+b\sqrt{2}）（m-n\sqrt{2}）}{m^2-2n^2}$=$\frac{am-2bn}{m^2-2n^2}$+$\frac{bm-an}{m^2-2n^2}$•$\sqrt{2}$∈M，对除法封闭．
故集合M对于加法、减法、乘法和除法（除数不为0）运算是封闭的．

点评 本题主要考查了集合的化简与元素与集合的关系的应用，属于中档题．