题目内容

1.(文科)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=8.
(理科)曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为$\frac{1}{6}$.

分析 (文科)先运用导数求切线的斜率,得到切线方程,再根据该直线与抛物线相切,由△=0解出a;
(理科)先求出两曲线的交点,得到积分的上,下限,再用定积分求面积.

解答 解:(文科)y'=1+$\frac{1}{x}$${|}_{x=1}^{\;}$=2,即切线的斜率为2,
根据点斜式,求得切线方程为y=2x-1,
该直线又与抛物线y=ax2+(a+2)x+1相切(a≠0),
联立得,ax2+(a+2)x+1=2x-1,
整理得,ax2+ax+2=0,
由△=0解得a=8(舍a=0),
故答案为:8.
(理科)联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x^2}\\{y=x}\end{array}\right.$解得x=0或x=1,
两曲线围成的面积根据定积分得,
S=x-${∫}_{0}^{1}(x-x^2)dx$=$\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3$${|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{6}$,
故答案为:$\frac{1}{6}$.

点评 本题主要考查了导数的简单应用和定积分的应用,属于基础题.

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