Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若

AC

AB

=

2

5

，求

AF

DF

的值．

Answer 1

分析：（I）连接OD，△AOD是等腰三角形，结合，∠BAC的平分线AD，得到OD∥AE可得结论．
（II）过D作DH⊥AB于H，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，由△AED≌△AHD和△AEF∽△DOF推出结果．

解答：（I）证明：连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC（2分）
∴OD∥AE又AE⊥DE（3分）
∴DE⊥OD，又OD为半径
∴DE是的⊙O切线（5分）

（II）解：过D作DH⊥AB于H，
则有∠DOH=∠CAB
cos∠DOH=cos∠CAB=

AC

AB

=

2

5

（6分）
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x（7分）
由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x（8分）
又由△AEF∽△DOF可得AF：DF=AE：OD=

7

5

∴

AF

DF

=

7

5

点评：本题考查平面几何中三角形的相似和全等，辅助线的做法，是解题关键，本题是难题．